Quels sont les tenseurs métriques du modèle Beltrami Klein dans la notation $ds ^ 2 =… $ le modèle Beltrami-Klein est nommé d`après le géomètre italien Eugenio Beltrami et l`Allemand Felix Klein tandis que «Cayley» dans le modèle Cayley-Klein fait référence au géomètre anglais Arthur Cayley. Le modèle n`est pas conforme, ce qui signifie que les angles sont déformés, et les cercles sur le plan hyperbolique ne sont généralement pas circulaires dans le modèle. Seuls les cercles qui ont leur centre au centre du cercle de délimitation ne sont pas déformés. Tous les autres cercles sont déformés, tout comme les hyperbolique et les hypercycles le modèle Beltrami – Klein est obtenu à partir du modèle hyperboloïde en réutilisant tous les vecteurs de sorte que le composant chronologique soit 1, c`est-à-dire en projetant l`incorporation hyperboloïde par l`origine sur le plan 0 = 1. La fonction de distance, sous sa forme homogène, est inchangée. Étant donné que les lignes intrinsèques (géodésiques) du modèle hyperboloïde sont l`intersection de l`incorporation avec des plans à travers l`origine de Minkowski, les lignes intrinsèques du modèle Beltrami – Klein sont les accords de la sphère. Ici. Les lignes et sont deux lignes qui ne se croisent pas k, comme c`est la ligne. La différence est que et sont limitant parallèlement à k dans des directions différentes, tandis que et k sont hyperparallèles, en admettant une perpendiculaire commune.

Rappelez-vous que les points de n`appartiennent pas au plan hyperbolique. Ils sont appelés points idéaux de. Les points en dehors de sont appelés points ultraideal. Le modèle de disque Poincaré et le modèle de disque Klein sont tous deux des modèles du plan hyperbolique. Un avantage du modèle de disque de Poincaré est qu`il est conforme (les cercles et les angles ne sont pas déformés); un inconvénient est que les lignes de la géométrie sont des arcs circulaires orthogonale au cercle de délimitation du disque. Nous avons introduit la géométrie hyperbolique en utilisant le modèle de disque Poincaré, dont l`ensemble est le disque d`unité D et dont le groupe est H (2). Les lignes hyperboliques sont des arcs de cercles euclidiens plutôt que des segments de ligne. L`avantage est que les angles entre les lignes hyperboliques sont représentés par les angles euclidiens entre les tangentes euclidiennes aux arcs.

Plus tard, Felix Klein s`est rendu compte que les idées de Cayley donnent naissance à un modèle projectif de l`avion non euclidien. En 1869, le jeune (vingt-ans) Felix Klein fait connaissance avec le travail de Cayley [6]. Il a rappelé que, en 1870, il a donné une conférence sur le travail de Cayley au séminaire de Weierstrass et il a écrit: l`ensemble est D, comme pour le modèle Poincaré. Il est défini par une bijection k de d, considéré comme l`ensemble du modèle Poincaré, à d, considéré comme l`ensemble de notre nouveau modèle. Il est facile de voir que ce modèle satisfait l`axiome hyperbolique. Voici comment on peut utiliser la boussole et les constructions droites dans le modèle pour obtenir l`effet des constructions de base dans le plan hyperbolique. Les cercles (l`ensemble de tous les points d`un plan qui sont à une distance donnée d`un point donné, son centre) dans le modèle deviennent des ellipses de plus en plus aplaties car ils sont plus près du bord. Les angles dans le modèle de disque Klein sont également déformés. En géométrie, le modèle Beltrami – Klein, également appelé modèle projectif, modèle de disque Klein, et le modèle Cayley – Klein, est un modèle de géométrie hyperbolique dans lequel les points sont représentés par les points à l`intérieur du disque unitaire (ou la boule unitaire n-dimensionnelle) et les lignes sont représentées par les accords, les segments de ligne droite avec des extrémités idéales sur la sphère de délimitation.

Pour relier les modèles à la disquette Poincaré, nous avons besoin d`une description algébrique de quand deux cercles sont orthogonaux. preuve le modèle Minkowski a l`ensemble H. Les lignes m sont les intersections de H avec des plans à travers l`origine. Regard D comme couché sur le plan XY dans un espace tridimensionnel. Laisser S désigner la moitié inférieure de la sphère x2 + y2 + z2 = 1, inversement, à partir d`un vecteur s {displaystyle s} de la norme moins d`un représentant un point du modèle Beltrami – Klein, le point correspondant du modèle de disque Poincaré est donné par Let et Let désignent les extrémités de t Il accord par A et B. Laissez indiquer la distance euclidienne de A à B, ou la longueur du segment AB.